Задание 16 №2246 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x>0$, $x\neq1$ (иначе $\log_3x=0$), $x\neq27$ (иначе $\log_3(x/27)=0$). Замена $t=\log_3x$:

$\log_3(x/27)=t-3$, $\log_3x^3=3t$. Неравенство:

$\dfrac{t}{t-3}\ge\dfrac4t+\dfrac{8}{t^2-3t}$.

Переносим влево, общий знаменатель $t(t-3)$:

$\dfrac{t^2-4(t-3)-8}{t(t-3)}\ge0$

$\dfrac{t^2-4t+4}{t(t-3)}\ge0$

$\dfrac{(t-2)^2}{t(t-3)}\ge0$.

Числитель $\ge0$ всегда (ноль при $t=2$); нужно $t(t-3)>0$ (то есть $t<0$ или $t>3$), либо $t=2$ (дробь $=0$, знаменатель $2\cdot(-1)=-2\neq0$).

$\log_3x<0$

$0<x<1$

$\log_3x=2$

$x=9$

$\log_3x>3$

$x>27$.

Ответ: $x\in(0;1)\cup\{9\}\cup(27;+\infty)$.