Задание 16 №2240 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$49x^2-25>0$ и $x>0$, что вместе даёт $x>\dfrac57$; при этом $50x-\dfrac9x-10>0$ выполняется автоматически в этой области (корни $50x^2-10x-9=0$ равны $\approx0{,}536$ и $\approx-0{,}336$, а $\frac57\approx0{,}714$ больше первого).

$\log_7(49x^2-25)-\log_7x=\log_7\dfrac{49x^2-25}{x}$. Неравенство равносильно $\dfrac{49x^2-25}{x}\le50x-\dfrac9x-10$.

Умножаем на $x>0$:

$49x^2-25\le50x^2-9-10x$

$x^2-10x+16\ge0$.

$D=100-64=36$; $x=\dfrac{10\pm6}{2}$: корни $x=2$ и $x=8$. Значит $x\le2$ или $x\ge8$.

Пересекаем с ОДЗ $x>\dfrac57$.

Ответ: $x\in\left(\dfrac57;2\right]\cup[8;+\infty)$.