Задание 16 №2239 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$9x^2-1>0$ и $x>0$, что вместе даёт $x>\dfrac13$; при этом $8x+\dfrac5x+1>0$ выполняется автоматически ($8x^2+x+5>0$ всегда, дискриминант отрицателен).

$\log_7(9x^2-1)-\log_7x=\log_7\dfrac{9x^2-1}{x}$. Неравенство $\log_7\dfrac{9x^2-1}{x}\le\log_7\left(8x+\dfrac5x+1\right)$ (основание $7>1$) равносильно $\dfrac{9x^2-1}{x}\le8x+\dfrac5x+1$.

Умножаем на $x>0$:

$9x^2-1\le8x^2+5+x$

$x^2-x-6\le0$

$(x-3)(x+2)\le0$

$-2\le x\le3$.

Пересекаем с ОДЗ $x>\dfrac13$.

Ответ: $x\in\left(\dfrac13;3\right]$.