Задание 16 №2237 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=8^x>0$, $u=6^x>0$:

$64^x=t^2$, $36^x=u^2$. Тогда $64^x+36^x-65\cdot8^x+64=u^2+(t^2-65t+64)=u^2+(t-1)(t-64)$.

Неравенство $\log_6\big(u^2+(t-1)(t-64)\big)\ge2x=\log_6(u^2)$ (основание $6>1$) равносильно $u^2+(t-1)(t-64)\ge u^2$ (положительность аргумента при этом обеспечивается автоматически).

$(t-1)(t-64)\ge0$

$t\le1$ или $t\ge64$, то есть $8^x\le1$ или $8^x\ge8^2$.

Ответ: $x\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$.