Задание 16 №2236 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=9^x>0$:

$81^x=t^2$, $9^x=t$, значит $81^x-4\cdot9^x+3=t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$. Выражение под логарифмом:

$4^x+(9^x-1)(9^x-3)$.

Неравенство $\log_2\big(4^x+(9^x-1)(9^x-3)\big)\ge2x=\log_2(4^x)$ (основание $2>1$) равносильно $4^x+(9^x-1)(9^x-3)\ge4^x$ (ОДЗ выполняется автоматически, так как правая часть суммы неотрицательна там, где решение существует).

$(9^x-1)(9^x-3)\ge0$

$9^x\le1$ или $9^x\ge3$

$x\le0$ или $x\ge\dfrac12$.

Ответ: $x\in(-\infty;0]\cup\left[\dfrac12;+\infty\right)$.