Решите неравенство $4\log_4^2(\sin^3 x) + 8\log_2(\sin x) \ge 1$
Самопроверка
Решение
ОДЗ:
$\sin x>0$. Тогда $\log_4(\sin^3x)=3\log_4(\sin x)=\dfrac32\log_2(\sin x)$. Замена $t=\log_2(\sin x)$: неравенство $4\left(\dfrac32t\right)^2+8t\ge1$
$9t^2+8t-1\ge0$.
$D=64+36=100$; $t=\dfrac{-8\pm10}{18}$: корни $t=\dfrac19$ и $t=-1$. Значит $t\le-1$ или $t\ge\dfrac19$.
В ОДЗ $t\le0$ всегда, поэтому $t\ge\dfrac19$ невозможно; остаётся $t\le-1$, то есть $\sin x\le\dfrac12$.
С учётом $\sin x>0$:
$0<\sin x\le\dfrac12$
$x\in\left(2\pi k;\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k;\pi+2\pi k\right)$.
Ответ: $x\in\left(2\pi k;\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k;\pi+2\pi k\right)$, $k\in\mathbb{Z}$.