Решите неравенство $20\log_4^2(\cos x) + 4\log_2(\cos x) \le 1$
Самопроверка
Решение
ОДЗ:
$\cos x>0$. Замена $t=\log_2(\cos x)$: тогда $\log_4(\cos x)=\dfrac{t}{2}$, и неравенство $20\cdot\dfrac{t^2}{4}+4t\le1$ принимает вид $5t^2+4t-1\le0$.
$D=16+20=36$; $t=\dfrac{-4\pm6}{10}$: корни $t=0{,}2$ и $t=-1$. Значит $-1\le t\le0{,}2$.
$\cos x\ge2^{-1}=\dfrac12$; условие $\cos x\le2^{0{,}2}$ излишне, так как $\cos x\le1<2^{0{,}2}$ всегда.
С учётом ОДЗ ($\cos x>0$, что уже следует из $\cos x\ge\frac12$):
$\cos x\ge\dfrac12$
$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\le x\le\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.
Ответ: $x\in\left[-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k;\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right]$, $k\in\mathbb{Z}$.