Задание 16 №2223 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=5^x>0$:

$125^x=t^3$, $25^x=t^2$. Аналогично предыдущему после приведения к общему знаменателю $t-5$ числитель раскладывается как $t(t-4)(t-1)^2$.

$\dfrac{t(t-4)(t-1)^2}{t-5}\le0$. Точка $t=1$ — изолированное решение (числитель обращается в $0$).

  -       -       +       -  
 ──────●───────●───────○──────▸
       1       4       5      

Точка $t=1$ отмечена отдельно (там квадрат обнуляется). Решение:

$t\in\{1\}\cup[4;5)$.

$5^x=1$

$x=0$

$4\le5^x<5$

$\log_54\le x<1$.

Ответ: $x\in\{0\}\cup[\log_54;1)$.