Задание 16 №2219 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=3^x>0$:

$9^x=t^2$, $3^{x+1}=3t$, $3^{1-x}=\dfrac3t$, $\dfrac1{9^x}=\dfrac1{t^2}$. Неравенство:

$t^2+3t+\dfrac3t+\dfrac1{t^2}\le8$.

Группируем:

$\left(t^2+\dfrac1{t^2}\right)+3\left(t+\dfrac1t\right)-8\le0$. Пусть $u=t+\dfrac1t\ge2$ (неравенство о среднем, равенство при $t=1$); тогда $t^2+\dfrac1{t^2}=u^2-2$.

$u^2-2+3u-8\le0$

$u^2+3u-10\le0$

$(u+5)(u-2)\le0$

$-5\le u\le2$.

С учётом $u\ge2$ получаем $u=2$, а это возможно только при $t=1$ (равенство в неравенстве о среднем), то есть $3^x=1$

$x=0$.

Ответ: $x=0$.