ОДЗ:
$x\neq0$, $x\neq-4$. Приводим степени к основаниям $2$ и $3$:
$18^{2x}=2^{2x}3^{4x}$, $12^x=2^{2x}3^x$, $\left(\dfrac19\right)^{\frac{2x+2}{x+4}}=3^{-\frac{2(2x+2)}{x+4}}$, $27^{-\frac{x+1}{x+4}}=3^{-\frac{3(x+1)}{x+4}}$.
Множитель $2^{2x}$ и множитель $\dfrac1{x^2}$ есть в обеих частях (после умножения на $x^{-2}$) и сокращаются. Неравенство сводится к сравнению степеней тройки:
$3^{5x-2-\frac{4x+4}{x+4}}\le3^{x-2-\frac{3(x+1)}{x+4}}$.
Основание $3>1$:
$5x-\dfrac{4x+4}{x+4}\le x-\dfrac{3(x+1)}{x+4}$
$4x\le\dfrac{4x+4}{x+4}-\dfrac{3(x+1)}{x+4}=\dfrac{x+1}{x+4}$.
$4x-\dfrac{x+1}{x+4}\le0$
$\dfrac{4x(x+4)-(x+1)}{x+4}\le0$
$\dfrac{4x^2+15x-1}{x+4}\le0$.
Корни числителя $x=\dfrac{-15\pm\sqrt{241}}{8}$ (обозначим $x_1=\dfrac{-15-\sqrt{241}}{8}\approx-3{,}82$, $x_2=\dfrac{-15+\sqrt{241}}{8}\approx0{,}07$); разрыв $x=-4$.
- + - - +
◂───────○─────────●────────○────────●───────▸
-4 x₁ 0 x₂ ($x_1=\dfrac{-15-\sqrt{241}}8$, $x_2=\dfrac{-15+\sqrt{241}}8$.) Решение:
$x\in(-\infty;-4)\cup[x_1;0)\cup(0;x_2]$.
Ответ: $x\in(-\infty;-4)\cup\left[\dfrac{-15-\sqrt{241}}{8};0\right)\cup\left(0;\dfrac{-15+\sqrt{241}}{8}\right]$.