Решите неравенство $0{,}5^{-\frac{x - 2}{2x + 4}} \cdot 10^x \cdot x^{-2} \le \frac{32^{-\frac{x - 2}{2x + 4}} \cdot 40^x}{16x^2}$
Решение
ОДЗ:
$x\neq0$, $x\neq-2$. Упрощаем степени:
$0{,}5^{-\frac{x-2}{2x+4}}=2^{\frac{x-2}{2x+4}}$; $32^{-\frac{x-2}{2x+4}}=2^{-\frac{5(x-2)}{2x+4}}$; $\dfrac{40^x}{16}=\dfrac{(8\cdot5)^x}{2^4}=2^{3x-4}\cdot5^x$; слева $10^x=2^x5^x$ — множитель $5^x$ есть с обеих сторон и сокращается.
После деления на $5^x>0$ и на $x^{-2}\cdot x^2=1$ (обе части содержат $x^{-2}$ и $\dfrac1{x^2}$ соответственно — они одинаковы и сокращаются) неравенство принимает вид $2^{\frac{x-2}{2x+4}+x}\le2^{-\frac{5(x-2)}{2x+4}+3x-4}$.
Основание $2>1$:
$\dfrac{x-2}{2x+4}+x\le-\dfrac{5(x-2)}{2x+4}+3x-4$
$\dfrac{6(x-2)}{2x+4}\le2x-4$
$\dfrac{3(x-2)}{x+2}\le2(x-2)$.
$(x-2)\left(\dfrac{3}{x+2}-2\right)\le0$
$(x-2)\cdot\dfrac{3-2x-4}{x+2}\le0$
$\dfrac{(x-2)(2x+1)}{x+2}\ge0$ (умножили на $-1$).
- + - +
◂───────○──────────●─────────●──────▸
-2 -1/2 2 Решение:
$x\in\left(-2;-\dfrac12\right]\cup[2;+\infty)$.
Ответ: $x\in\left(-2;-\dfrac12\right]\cup[2;+\infty)$.