ОДЗ:
$x\ge0$ и $2^{\sqrt x}\neq2$, то есть $x\neq1$. При $x\ge0$ имеем $|x|=x$.
Числитель:
$3^x\cdot2^x-2^x-8\cdot3^x+8=2^x(3^x-1)-8(3^x-1)=(2^x-8)(3^x-1)$.
При $x\ge0$:
$3^x-1\ge0$ всегда (ноль при $x=0$); $2^x-8$ отрицателен при $x<3$, ноль при $x=3$, положителен при $x>3$.
Знаменатель $2^{\sqrt x}-2$: отрицателен при $0\le x<1$, ноль при $x=1$ (исключено), положителен при $x>1$.
На $[0;1)$: числитель $\le0$ (произведение неположительного $(2^x-8)$ и неотрицательного $(3^x-1)$), знаменатель $<0$ — дробь $\ge0$, весь промежуток подходит.
На $(1;3)$: числитель $<0$, знаменатель $>0$ — дробь $<0$, не подходит; при $x=3$ числитель $=0$ — подходит; при $x>3$ оба множителя дают числитель $>0$, знаменатель $>0$ — подходит.
Ответ: $x\in[0;1)\cup[3;+\infty)$.