Задание 16 №2204 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=4^{2-x^2}-1$ ($t\neq0$). Неравенство $\dfrac{15}{t^2}-\dfrac{16}{t}+1\ge0$; умножаем на $t^2>0$:

$15-16t+t^2\ge0$

$(t-1)(t-15)\ge0$

$t\le1$ или $t\ge15$.

$4^{2-x^2}\le2=4^{1/2}$

$2-x^2\le\dfrac12$

$x^2\ge\dfrac32$

$x\le-\sqrt{1{,}5}$ или $x\ge\sqrt{1{,}5}$.

Заметим $\sqrt{1{,}5}=\sqrt{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt6}{2}$.

$4^{2-x^2}\ge16=4^2$

$2-x^2\ge2$

$x=0$.

Исключаем $t=0$:

$4^{2-x^2}=1$

$x^2=2$

$x=\pm\sqrt2$

— выкалываем эти точки (они внутри первого множества).

Ответ: $x\in(-\infty;-\sqrt2)\cup\left(-\sqrt2;-\dfrac{\sqrt6}{2}\right]\cup\{0\}\cup\left[\dfrac{\sqrt6}{2};\sqrt2\right)\cup(\sqrt2;+\infty)$.