Задание 16 №2201 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=2^x>0$: знаменатель третьей дроби $t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$. Приводим всё к общему знаменателю $(t-2)(t-3)$:

$\dfrac{t(t-3)+(t+1)(t-2)+5}{(t-2)(t-3)}\le0$.

Числитель:

$t^2-3t+t^2-t-2+5=2t^2-4t+2=2(t-1)^2$. Неравенство:

$\dfrac{2(t-1)^2}{(t-2)(t-3)}\le0$.

Числитель $\ge0$ всегда (ноль при $t=1$); нужно $(t-2)(t-3)<0$, то есть $2<t<3$, либо $t=1$.

$2^x=1$

$x=0$

$2<2^x<3$

$1<x<\log_23$.

Ответ: $x\in\{0\}\cup(1;\log_23)$.