Задание 16 №2199 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=3^{-x}>0$:

$9^{-x}=t^2$. Переносим $7$ влево:

$\dfrac{567-t^2}{81-t}-7\ge0$

$\dfrac{567-t^2-567+7t}{81-t}\ge0$

$\dfrac{7t-t^2}{81-t}\ge0$

$\dfrac{t(t-7)}{t-81}\le0$.

  -       +         -  
 ──────●────────○───────▸
       7       81       

Решение:

$t\in(0;7]\cup(81;+\infty)$.

$t\in(0;7]\cup(81;+\infty)$.

$3^{-x}\le7$

$-x\le\log_37$

$x\ge-\log_37$

$3^{-x}>81=3^4$

$-x>4$

$x<-4$.

Ответ: $x\in(-\infty;-4)\cup[-\log_37;+\infty)$.