Задание 16 №2197 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=3^x>0$: складываем дроби слева по общему знаменателю $(t-9)(t+9)$:

$\dfrac{(t+9)^2+(t-9)^2}{(t-9)(t+9)}=\dfrac{2t^2+162}{t^2-81}$. Справа:

$\dfrac{12t+144}{t^2-81}$ (так как $4\cdot3^{x+1}=12t$).

Общий знаменатель совпадает:

$\dfrac{2t^2+162-12t-144}{t^2-81}\ge0$

$\dfrac{2t^2-12t+18}{t^2-81}\ge0$

$\dfrac{2(t-3)^2}{(t-9)(t+9)}\ge0$.

Числитель $\ge0$ всегда (ноль при $t=3$); нужно $(t-9)(t+9)>0$ (с учётом $t>0$: $t>9$), либо $t=3$ (дробь равна $0$).

$3^x=3$

$x=1$

$3^x>9$

$x>2$.

Ответ: $x\in\{1\}\cup(2;+\infty)$.