Задание 16 №2194 — ЕГЭ по профильной математике

Замена $t=2^x>0$:

$4^x=t^2$, $2^{x+4}=16t$, знаменатель второй дроби $t^2-16t+64=(t-8)^2$. Неравенство:

$1+\dfrac{11}{t-8}+\dfrac{28}{(t-8)^2}\ge0$ (при $t\neq8$).

Умножаем на $(t-8)^2>0$:

$(t-8)^2+11(t-8)+28\ge0$.

Раскрываем скобки:

$t^2-16t+64+11t-88+28\ge0$

$t^2-5t+4\ge0$

$(t-1)(t-4)\ge0$

$t\le1$ или $t\ge4$ (и $t\neq8$). С учётом $t>0$:

$0<t\le1$ или ($t\ge4$, $t\neq8$).

$2^x\le1$

$x\le0$

$2^x\ge4$

$x\ge2$ (кроме $x=3$, где $2^x=8$).

Ответ: $x\in(-\infty;0]\cup[2;3)\cup(3;+\infty)$.