Замена $t=2^{x-6}>0$:
$2^{x-3}=2^{x-6+3}=8t$, значит $4^{x-3}=(2^{x-3})^2=64t^2$. Неравенство:
$64t^2-71t+7\le0$.
$D=71^2-4\cdot64\cdot7=5041-1792=3249=57^2$; $t=\dfrac{71\pm57}{128}$: корни $t=1$ и $t=\dfrac{7}{64}$.
$\dfrac{7}{64}\le t\le1$.
$2^{x-6}\ge\dfrac{7}{64}=2^{-6}\cdot7$
$x-6\ge\log_2 7-6$
$x\ge\log_27$
$2^{x-6}\le1$
$x\le6$.
Ответ: $x\in[\log_27;6]$.