Задание 16 №2185 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x\neq0$. Упрощаем:

$\sqrt[3]{8^{5x+3}}=2^{5x+3}$; $\sqrt{\left(\frac1{16}\right)^{\frac{2x+1}{x}}}=2^{-\frac{4(2x+1)}{2x}}=2^{-\frac{2(2x+1)}{x}}$.

Неравенство $2^{5x+3}<2^{-\frac{2(2x+1)}{x}}$ равносильно $5x+3<-\dfrac{4x+2}{x}$.

Случай $x>0$: умножаем на $x$:

$5x^2+3x<-4x-2$

$5x^2+7x+2<0$

$(x+1)(5x+2)<0$

$-1<x<-\dfrac25$. Пересечение с $x>0$ — пусто.

Случай $x<0$: умножаем на $x$, знак меняется:

$5x^2+7x+2>0$

$x<-1$ или $x>-\dfrac25$. Пересечение с $x<0$:

$x<-1$ или $-\dfrac25<x<0$.

Ответ: $x\in(-\infty;-1)\cup\left(-\dfrac25;0\right)$.