Задание 16 №2184 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x\neq0$ (переменная в знаменателе показателя). Упрощаем степени:

$\sqrt[5]{32^{4x-3}}=2^{4x-3}$; $\sqrt{16^{\frac{2x+1}{x}}}=2^{\frac{2(2x+1)}{x}}$.

Неравенство $2^{4x-3}<2^{\frac{2(2x+1)}{x}}$ равносильно (основание $2>1$) $4x-3<\dfrac{4x+2}{x}$.

Случай $x>0$: умножаем на $x$:

$4x^2-3x<4x+2$

$4x^2-7x-2<0$. Корни $x=\dfrac{7\pm9}{8}$:

$x=2$, $x=-\dfrac14$. При $x>0$ получаем $0<x<2$.

Случай $x<0$: умножаем на $x$, знак меняется:

$4x^2-7x-2>0$

$x<-\dfrac14$ или $x>2$. При $x<0$ получаем $x<-\dfrac14$.

Ответ: $x\in\left(-\infty;-\dfrac14\right)\cup(0;2)$.