Группируем:
$6^x-4\cdot3^x-2^x+4=2^x\cdot3^x-4\cdot3^x-2^x+4=3^x(2^x-4)-(2^x-4)=(3^x-1)(2^x-4)$.
$(3^x-1)(2^x-4)\le0$: разные знаки множителей. $3^x-1\ge0$
$x\ge0$
$2^x-4\le0$
$x\le2$. (Обратный случай $3^x\le1$ и $2^x\ge4$, то есть $x\le0$ и $x\ge2$, невозможен.)
Ответ: $x\in[0;2]$.