Группируем:
$15^x-9\cdot5^x-3^x+9=5^x\cdot3^x-9\cdot5^x-3^x+9=5^x(3^x-9)-(3^x-9)=(5^x-1)(3^x-9)$.
Неравенство $(5^x-1)(3^x-9)\le0$ — множители одинаковых знаков не подходят, разных подходят.
$5^x-1\ge0$
$x\ge0$
$3^x-9\le0$
$x\le2$. Второй случай ($5^x-1\le0$ и $3^x-9\ge0$, т.е. $x\le0$ и $x\ge2$) невозможен.
Ответ: $x\in[0;2]$.