Замена $t=5^x>0$:
$5^{x+1}=5t$, $5^{-x}=\dfrac1t$. Неравенство $5t+\dfrac3t\le16$; умножаем на $t>0$:
$5t^2-16t+3\le0$.
$D=256-60=196$; $t=\dfrac{16\pm14}{10}$: корни $t=3$ и $t=\dfrac15$.
$\dfrac15\le t\le3$.
$5^x\ge5^{-1}$
$x\ge-1$
$5^x\le3$
$x\le\log_53$.
Ответ: $x\in[-1;\log_53]$.