Задание 20 №13666 — ЕГЭ по профильной математике

а) Если в классе 20 учащихся, из них 4 девочки, то их доля составляет $20\%\leqslant22\%$.

б) При доле девочек $30\%$ число учащихся после прихода новой девочки должно делиться на 10. Оно больше 11 и не больше 29, поэтому равно 20; девочек стало 6. До её прихода было 19 учащихся и 5 девочек, но $\dfrac{5}{19}>0{,}22$. Значит, такая ситуация невозможна.

в) Пусть первоначально было $b$ учащихся, из них $a$ девочек. Тогда $10<b\leqslant28$ и $\dfrac{a}{b}\leqslant0{,}22$. После прихода девочки

$$\dfrac{a+1}{b+1}<\dfrac{a+1}b=\dfrac ab+\dfrac1b<\dfrac ab+0{,}1\leqslant0{,}32.$$

Итак, целое число процентов меньше 32; значение 30 уже исключено. Если целое число $p=\dfrac{100(a+1)}{b+1}$ не делится ни на 4, ни на 5, то $\operatorname{НОД}(p,100)$ равно 1 или 2, поэтому $b+1$ должно делиться на 100 или 50. Это невозможно при $b+1\leqslant29$.

Выше 25 остаётся проверить только 28. Из $\dfrac{100(a+1)}{b+1}=28$ следует $25(a+1)=7(b+1)$, поэтому $b=24$, $a=6$, но $\dfrac{a}{b}=0{,}25>0{,}22$. Значение 25 достижимо при $b=15$, $a=3$: до прихода девочки доля равна $20\%$, после — $\dfrac{4}{16}=25\%$. Наибольшее значение равно 25.

Ответ: а) да; б) нет; в) 25