Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается $10a+4b+c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а у спортсмена-2 — $a_2$, $b_2$ и $c_2$, то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
— $a_1>a_2$,
— $a_1=a_2$ и $b_1>b_2$,
— $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ и $c_1>c_2$.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше $p$. Найдите наибольшее возможное значение $p$.
в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.