Задание 20 №13652 — ЕГЭ по профильной математике

а) Подходят числа 2004, 12 и 9: второе равно $2(2+0+0+4)$, третье равно $3(1+2)$, а их сумма — 2025.

б) Сумма трёх чисел всегда кратна 3. Если первое кратно 3, это очевидно. Если оно даёт остаток 1 или 2, сумма его цифр даёт тот же остаток, а второе число — соответственно 2 или 1. Третье число кратно 3. Следовательно, сумма не может равняться 2026.

в) Сумма цифр второго числа равна 4. Удвоенная сумма цифр четырёхзначного числа не больше 72, поэтому вторым числом могло бы быть 40, 31, 13, 22 или 4. Оно чётно, значит, остаются 40, 22 и 4; сумма цифр первого равна 20, 11 или 2.

Сумму цифр 2 имеют четыре четырёхзначных числа: 1001, 1010, 1100, 2000.

Для суммы цифр 11 сгруппируем числа по сумме первых двух цифр. Число вариантов равно

$$9+2\cdot10+3\cdot9+4\cdot8+5\cdot7+6\cdot6+7\cdot5+8\cdot4+9\cdot3+9\cdot2+8=279.$$

Для суммы цифр 20 аналогично получаем

$$2\cdot1+3\cdot2+4\cdot3+5\cdot4+6\cdot5+7\cdot6+8\cdot7+9\cdot8+9\cdot9+8\cdot10+7\cdot9+6\cdot8+5\cdot7+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot4+1\cdot3=597.$$

Всего $4+279+597=880$ чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) 880