а) Можно взять 6 секций и соединить их пятью нахлёстами по 30 см: $600-5\cdot30=450$ см.
б) Допустим, можно получить 500 см. Тогда $500=100+70k_1+90k_2$, где $k_1$ и $k_2$ — количества соединений с нахлёстами 30 и 10 см. Получаем $40=7k_1+9k_2$. При $k_2=0,1,2,3,4$ возможные значения $k_1$ равны $\dfrac{40}7$, $\dfrac{31}7$, $\dfrac{22}7$, $\dfrac{13}7$, $\dfrac47$; целых среди них нет. Забор длиной 5 м собрать нельзя.
в) Забор длиной 570 см собрать нельзя: из $570=100+70k_1+90k_2$ следует $47=7k_1+9k_2$, а при $k_2=0,1,2,3,4,5$ значения $k_1$ равны $\dfrac{47}7$, $\dfrac{38}7$, $\dfrac{29}7$, $\dfrac{20}7$, $\dfrac{11}7$, $\dfrac27$, то есть нецелые.
Покажем, что можно собрать забор любой длины от 580 см с шагом 10 см. Для чётных десятков достаточно длин 580, 600, 620, 640 см: им соответствуют пары $(k_1;k_2)=(3;3),(2;4),(1;5),(0;6)$. Для нечётных десятков достаточно длин 590, 610, 630 см: пары $(7;0),(6;1),(5;2)$.
К каждой из этих семи конструкций можно присоединять секции с нахлёстом 30 см, увеличивая длину на 70 см. Семь исходных длин представляют все остатки при делении числа десятков на 7, поэтому эти конструкции дают все длины $580+10n$ см, $n\geqslant0$. Длина 570 см недостижима, поэтому наименьшее $L$ равно 580 см.
Ответ: а) да; б) нет; в) 580 см