Найдите все значения $a$, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\dfrac{a}{2}x+2a$ и $y=a|x|+|a|$, будет меньше 7, но не меньше 3.
Решение
При $a>0$ график $y=a|x|+|a|$ состоит из лучей $y=ax+a$, $x\geqslant0$, и $y=-ax+a$, $x\leqslant0$, с общей вершиной $A(0;a)$. Прямая $y=\dfrac a2x+2a$ проходит через $B(0;2a)$ и пересекает лучи в точках $C(2;3a)$ и $D(-\dfrac23;\dfrac{5a}3)$.
Точка $A$ не лежит на $CD$, а площадь треугольника $ACD$ равна
$$S_{ABD}+S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot\dfrac23+\dfrac12AB\cdot2=\dfrac43a.$$
Условие $3\leqslant S<7$ даёт $\dfrac94\leqslant a<\dfrac{21}4$.
При $a<0$ график состоит из лучей $y=ax-a$, $x\geqslant0$, и $y=-ax-a$, $x\leqslant0$, с вершиной $A(0;-a)$. Прямая через $B(0;2a)$ пересекает их в $C(6;5a)$ и $D(-2;a)$.
Площадь треугольника $ACD$ равна $\dfrac12AB\cdot6+\dfrac12AB\cdot2=-12a$. Тогда $3\leqslant-12a<7$, откуда $-\dfrac7{12}<a\leqslant-\dfrac14$.
При $a=0$ обе линии совпадают с $y=0$ и не образуют фигуры положительной площади.
Ответ: $\left(-\dfrac{7}{12};\,-\dfrac{1}{4}\right]\cup\left[\dfrac{9}{4};\,\dfrac{21}{4}\right)$