Задание 19 №13606 — ЕГЭ по профильной математике

Первое уравнение системы равносильно $(2y-x-0{,}6)^2=1$. Получаем два случая:

$$\begin{cases}y=0{,}5x+0{,}8,\\(x+3)^2+(y+1)^2=\dfrac1a;\end{cases}\qquad\text{или}\qquad\begin{cases}y=0{,}5x-0{,}2,\\(x+3)^2+(y+1)^2=a.\end{cases}$$

Это пересечения двух параллельных прямых $l_1:y=0{,}5x+0{,}8$ и $l_2:y=0{,}5x-0{,}2$ с окружностями центра $(-3;-1)$ и радиусов $\dfrac1{\sqrt a}$ и $\sqrt a$ соответственно. Центр расположен между прямыми: $-0{,}7>-1$, а $-1{,}7<-1$.

Перпендикуляр к обеим прямым через центр имеет уравнение $y=-2x-7$. Его пересечение с $l_1$ — точка $(-3{,}12;-0{,}76)$, поэтому квадрат расстояния до $l_1$ равен $(-3{,}12+3)^2+(-0{,}76+1)^2=0{,}072$. Пересечение с $l_2$ — точка $(-2{,}72;-1{,}56)$; квадрат расстояния до $l_2$ равен $(-2{,}72+3)^2+(-1{,}56+1)^2=0{,}392$.

В первом случае число точек пересечения равно 2 при $0<a<\dfrac{125}9$, 1 при $a=\dfrac{125}9$ и 0 при $a>\dfrac{125}9$. Во втором случае оно равно 0 при $0<a<0{,}392$, 1 при $a=0{,}392$ и 2 при $a>0{,}392$.

Всего получаем 2 решения при $0<a<0{,}392$, 3 при $a=0{,}392$, 4 при $0{,}392<a<\dfrac{125}9$, 3 при $a=\dfrac{125}9$ и 2 при $a>\dfrac{125}9$.

Ответ: $(0;\,0{,}392],\ \left[\dfrac{125}{9};\,+\infty\right)$