В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $A$ и $D$ — в точке $L$, $AB>BC$.
а) Докажите, что $OL=\dfrac{AB-BC}{2}$.
б) Найдите площадь треугольника $DOL$, если $AB=32$, $BC=20$, $AL=16$.
Решение
а) Обозначим середины сторон $AD$ и $BC$ точками $K$ и $N$, а пересечение стороны $AB$ с биссектрисой угла $ADC$ — точкой $E$. Прямая $KN$ параллельна $AB$; на ней лежат точки, равноудалённые от $AB$ и $CD$. Точка $O$ равноудалена от этих прямых, поэтому $O\in KN$. Точка $L$ лежит на биссектрисах углов $BAD$ и $ADC$, следовательно, также равноудалена от $AB$ и $CD$ и лежит на $KN$.
Углы $ADE$ и $CDE$ равны по определению биссектрисы; углы $AED$ и $CDE$ равны как накрест лежащие. Поэтому $ADE$ — равнобедренный треугольник и $AE=AD=BC$. Из теоремы о средней линии треугольника $BDE$ получаем $OL=\dfrac12BE=\dfrac12(AB-AE)=\dfrac{AB-BC}2$.
б) Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, поэтому $ALE$ — прямоугольный треугольник. В нём $\cos\angle EAL=\dfrac{AL}{AE}=\dfrac{16}{20}=0{,}8$, $\sin\angle EAL=0{,}6$.
$$S_{BAD}=\dfrac12AB\cdot BC\sin\angle BAD=AB\cdot BC\sin\angle EAL\cos\angle EAL=32\cdot20\cdot0{,}6\cdot0{,}8=307{,}2.$$
Из пункта а) $BE=12$, $OL=6$. Тогда
$$S_{DOL}=\dfrac14S_{BDE}=\dfrac14\cdot\dfrac{BE}{AB}S_{BAD}=\dfrac{12\cdot307{,}2}{4\cdot32}=28{,}8.$$
Ответ: б) $28{,}8$