Решите неравенство $\dfrac{x}{\sqrt{x^4-9x^2}}\geqslant\dfrac{1}{x+2}$.
Решение
Область определения: $x<-3$ или $x>3$.
При $x>3$ неравенство равносильно $\dfrac1{\sqrt{x^2-9}}\geqslant\dfrac1{x+2}$. Обе части положительны, поэтому можно возвести их в квадрат: $x^2-9\leqslant x^2+4x+4$, откуда $x\geqslant-\dfrac{13}{4}$. Условие выполнено для всех $x>3$.
При $x<-3$ получаем $\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-9}}\geqslant\dfrac{-1}{-x-2}$, то есть $\dfrac1{\sqrt{x^2-9}}\leqslant\dfrac1{-x-2}$. Возводя положительные части в квадрат, получаем $x^2-9\geqslant x^2+4x+4$, откуда $x\leqslant-\dfrac{13}{4}=-3{,}25$.
Ответ: $(-\infty;\,-3{,}25];\ (3;\,+\infty)$