Задание 16 №13512 — ЕГЭ по профильной математике

При $x\ne0$ преобразуем неравенство:

$$80\cdot25^{-\dfrac{4}{x}}-189\cdot20^{-\dfrac{4}{x}}+100\cdot16^{-\dfrac{4}{x}}\leqslant0;$$

$$100\left(\dfrac{25}{16}\right)^{\dfrac{4}{x}}-189\left(\dfrac54\right)^{\dfrac{4}{x}}+80\leqslant0.$$

Положим $t=\left(\dfrac54\right)^{\dfrac{4}{x}}$. Получим $100t^2-189t+80\leqslant0$, то есть $(t-\dfrac54)(t-\dfrac{16}{25})\leqslant0$. Поэтому $\dfrac{16}{25}\leqslant t\leqslant\dfrac54$, откуда $-2\leqslant\dfrac4x\leqslant1$.

Первое неравенство даёт $x\in(-\infty;-2]\cup(0;+\infty)$, второе — $x\in(-\infty;0)\cup[4;+\infty)$. Пересечение: $x\in(-\infty;-2]\cup[4;+\infty)$.

Ответ: $(-\infty;\,-2]\cup[4;\,+\infty)$