Детально некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 4$ кг и радиуса $R = 10$ см, и двух боковых с массами $M = 2$ кг и с радиусами $R + h$. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг·см$^2$, дается формулой $I = \dfrac{(m+2M)R^2}{2} + M(2Rh + h^2)$. При каком максимальном значении $h$ момент инерции катушки не превышает предельного значения 1000 кг·см$^2$? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ:10
Подставляем $m=4$, $M=2$, $R=10$ в $I=\dfrac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2)$: базовая часть $\dfrac{(4+4)\cdot100}{2}=400$, и неравенство $I\le1000$ принимает вид $400+2(20h+h^2)\le1000$, то есть $2h^2+40h-600\le0$, или $h^2+20h-300\le0$.
Корни уравнения $h^2+20h-300=0$: $D=400+1200=1600$, $\sqrt D=40$, $h=\dfrac{-20\pm40}{2}$, то есть $h=10$ или $h=-30$. Так как $h>0$, неравенство выполняется при $0<h\le10$.
Ответ: 10.