Решите неравенство $\dfrac{2^{2x+1}+x-5\sqrt{x}-12}{4^x-8}\geqslant 2$.
Решение
Преобразуем неравенство:
$$\dfrac{2^{2x+1}+x-5\sqrt x-12-2^{2x+1}+16}{4^x-8}\geqslant0;\qquad \dfrac{x-5\sqrt x+4}{2^{2x}-2^3}\geqslant0;\qquad \dfrac{(\sqrt x-1)(\sqrt x-4)}{2^{2x}-2^3}\geqslant0.$$
Область определения: $x\geqslant0$, $x\ne1{,}5$.
Если $x>1{,}5$, то знаменатель положителен и $\sqrt x-1>0$, поэтому $\sqrt x-4\geqslant0$, то есть $x\geqslant16$.
Если $0\leqslant x<1{,}5$, то знаменатель отрицателен и $\sqrt x-4<0$, поэтому $\sqrt x-1\geqslant0$, то есть $x\geqslant1$.
Итак, $1\leqslant x<1{,}5$ или $x\geqslant16$.
Ответ: $[1;\,1{,}5)$; $[16;\,+\infty)$