В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Решение
а) Опустим перпендикуляры $MF$ и $KE$ на плоскость основания. Тогда $F\in AB$, $E\in BC$ и $FE=MK=\dfrac{AN}{2}$, причём $FE\parallel AN$. Следовательно, треугольники $FBE$ и $ABN$ подобны с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$ и $BN=2BE=2B_1K=\dfrac{BC}{2}$.
б) Площадь основания равна $\dfrac{24}{3}=8$. Прямоугольные треугольники $AFM$ и $NEK$ равны по катету и гипотенузе, поэтому $AF=EN$. Из подобия треугольников выше также $AF=FB$ и $BE=EN$. Значит, $AB=BN$, и треугольник $ABN$ равнобедренный.
Его площадь составляет четверть площади параллелограмма и равна 2. Поскольку $AN=4$, высота $h$, опущенная из $B$, равна 1. Расстояние между $FE$ и $AN$ равно $\dfrac{h}{2}$. Поэтому высота трапеции $AMKN$ равна $\sqrt{3^2+(\dfrac{h}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{37}}{2}$, её средняя линия равна $\dfrac{2+4}{2}=3$, а площадь равна $\dfrac{3\sqrt{37}}{2}$.
Ответ: б) $\dfrac{3\sqrt{37}}{2}$