В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD:DC=SE:EB=1:2$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $BF=FC$.
а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AP:PS$.
Решение
а) Точки $D$ и $P$ лежат на прямой $OD$, точки $E$ и $F$ — на прямой $OF$. При этом $P$ лежит на отрезке $DO$, а $E$ — на отрезке $FO$. Поэтому $DPEF$ — выпуклый четырёхугольник в плоскости $DOF$. Отрезки $DE$ и $PF$ — его диагонали, следовательно, пересекаются.
б) На ребре $CS$ отметим точку $Q$ так, что $SQ:QC=1:2$. Треугольники $CDQ$ и $CAS$ подобны с коэффициентом $\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{2}{3}$, а $SQE$ и $SCB$ — с коэффициентом $\dfrac{SQ}{SC}=\dfrac{1}{3}$.
По условию $CF=\dfrac{BC}{2}$. Треугольники $COF$ и $QOE$ подобны, причём $\dfrac{CF}{QE}=(\dfrac{BC}{2}):(\dfrac{BC}{3})=\dfrac{3}{2}$. Значит, $CQ=\dfrac{QO}{2}$. Поскольку $CQ=2QS$, получаем $OQ=4SQ$, $OS=3SQ$.
Треугольники $DOQ$ и $POS$ подобны с коэффициентом $\dfrac{OS}{OQ}=\dfrac{3}{4}$. Поэтому $PS=\dfrac34DQ=\dfrac34\cdot\dfrac23AS=\dfrac12AS$, откуда $AP:PS=1$.
Ответ: б) 1