Основанием прямой призмы $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ является пятиугольник $ABCDE$, в котором $ABCE$ и $OCDE$ — квадраты, где точка $O$ — пересечение прямых $AC$ и $BE$. Треугольник $A_1OC_1$ равносторонний.
а) Докажите, что расстояния от точки $D$ до прямой $AB_1$ и от точки $B_1$ до прямой $AD$ равны.
б) Найдите синус угла между прямой $ED_1$ и плоскостью $BCA_1$, если $AB=\sqrt{2}$.
Решение
а) Пусть $AB=a$, $AA_1=h$. В квадрате $ABCE$ сторона равна $a$, диагональ — $\sqrt2a$; в квадрате $OCDE$ сторона равна $\dfrac{\sqrt2a}2$, диагональ — $a$.
Треугольник $A_1OC_1$ равносторонний, поэтому $A_1O=AC$ и $\left(\dfrac{\sqrt2a}2\right)^2+h^2=2a^2$, откуда $h=\sqrt{\dfrac32}a$.
В треугольнике $AB_1D$ имеем $AD^2=\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{3a}2\right)^2=\dfrac52a^2$ и $AB_1^2=a^2+h^2=\dfrac52a^2$. Значит, $AD=AB_1$, треугольник равнобедренный, а его высоты к этим сторонам равны. Это и есть расстояния от $D$ до $AB_1$ и от $B_1$ до $AD$.
б) При $AB=\sqrt2$ получаем $AD=AB_1=\sqrt5$, $AA_1=\sqrt3$. Обозначим середины рёбер $BB_1$, $A_1B_1$ и $CC_1$ буквами $F$, $K$ и $N$, центр квадрата $A_1B_1C_1D_1$ — буквой $O_1$.
Так как $AE=OD=O_1D_1$ и $AE\parallel O_1D_1$, четырёхугольник $AO_1D_1E$ — параллелограмм и $AO_1\parallel ED_1$. Плоскости $BCA_1$ и $FNK$ параллельны: $BC\parallel FN$, $A_1B\parallel KF$. Искомый угол равен углу между $AO_1$ и плоскостью $FNK$.
В плоскости $BAA_1$ проведём $AH\perp KF$, $H\in KF$. Прямая $AH$ перпендикулярна также $FN$, поэтому $AH\perp FNK$. Искомый угол — $\angle AO_1H$.
Пусть $P=KF\cap AB$. Треугольники $FKB_1$ и $FPB$ равны, а $FKB_1$ и $APH$ подобны по двум углам. Поэтому
$$\dfrac{AH}{AP}=\dfrac{B_1F}{KF};\qquad AH=\dfrac{0{,}5AA_1}{0{,}5A_1B}\cdot1{,}5AB=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}\cdot1{,}5\sqrt2=\dfrac{3\sqrt{30}}{10}.$$
Так как $AO_1=AC=2$, получаем $\sin\angle AO_1H=\dfrac{AH}{AO_1}=\dfrac{3\sqrt{30}}{20}$.
Ответ: б) $\dfrac{3\sqrt{30}}{20}$