Основанием треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$. Через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость $\alpha$, которая пересекла ребро $AA_1$ в точке $N$ и разбила призму на два многогранника с равными объёмами.
а) Докажите, что $AN:AA_1=3:4$.
б) Через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость, которая пересекла рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $P$ соответственно так, что объём многогранника $ABCKP$ в 3 раза меньше объёма призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите косинус угла между плоскостями $\alpha$ и $BKP$, если $AB:AA_1=6:7$.