Задание 14 №13440 — ЕГЭ по профильной математике

а) Преобразуем уравнение:

$$\left(\sin^2\dfrac x4-\cos^2\dfrac x4\right)\left(\sin^2\dfrac x4+\cos^2\dfrac x4\right)+\sin x=0;\qquad\sin x-\cos\dfrac x2=0;$$

$$2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2-\cos\dfrac x2=0;\qquad\cos\dfrac x2\left(2\sin\dfrac x2-1\right)=0.$$

Отсюда $x=\pi+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$, или $x=\dfrac\pi3+4\pi k$, $k\in\mathbb Z$, или $x=\dfrac{5\pi}3+4\pi m$, $m\in\mathbb Z$.

б) Для первой серии условие $-4\pi\leqslant\pi+2\pi n\leqslant-\pi$ даёт $-\dfrac52\leqslant n\leqslant-1$, то есть $n=-2,-1$ и $x=-3\pi,-\pi$.

Для второй получаем $-\dfrac{13}{12}\leqslant k\leqslant-\dfrac13$, откуда $k=-1$, $x=-\dfrac{11\pi}3$. Для третьей $-\dfrac{17}{12}\leqslant m\leqslant-\dfrac23$, откуда $m=-1$, $x=-\dfrac{7\pi}3$.

Ответ: а) $\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$; $\dfrac{\pi}{3}+4\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; $\dfrac{5\pi}{3}+4\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{11\pi}{3}$, $-3\pi$, $-\dfrac{7\pi}{3}$, $-\pi$