а) Решите уравнение $\log_2\left(\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=-0{,}5$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi;\,-\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Решение
а) Запишем исходное уравнение в виде
$$\sqrt2\cos\left(x-\dfrac\pi2\right)-\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}.$$
По формулам приведения и разности углов получаем $\sin x-\cos x=1$. Используя формулы половинного угла, преобразуем:
$$2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2-\cos^2\dfrac x2+\sin^2\dfrac x2=\cos^2\dfrac x2+\sin^2\dfrac x2;\qquad 2\cos\dfrac x2\left(\sin\dfrac x2-\cos\dfrac x2\right)=0.$$
Отсюда $\cos\dfrac x2=0$, то есть $x=\pi+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$, или $\operatorname{tg}\dfrac x2=1$, то есть $x=\dfrac\pi2+2\pi l$, $l\in\mathbb Z$.
б) На отрезке $\left[-6\pi;-\dfrac{9\pi}{2}\right]$ получаем $x_1=-6\pi+\pi=-5\pi$ и $x_2=-6\pi+\dfrac\pi2=-\dfrac{11\pi}{2}$.
Замечание. Отбор корней можно выполнить и другим способом: с помощью графика или решением линейных неравенств.
Ответ: а) $\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$; $\dfrac{\pi}{2}+2\pi l,\ l\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{11\pi}{2}$; $-5\pi$