Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$, где $t$ — время в минутах, $\omega = 40^\circ/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 4^\circ/\text{мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $3000^\circ$. Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.
Ответ:30
Подставляем данные в формулу $\varphi=\omega t+\dfrac{\beta t^2}{2}$: $2t^2+40t-3000=0$, то есть $t^2+20t-1500=0$.
Дискриминант $D=20^2+4\cdot1500=6400=80^2$. Корни: $t=\dfrac{-20\pm80}{2}$, то есть $t=30$ или $t=-50$. Берём положительный корень.
Ответ: 30.