Задание 1 №112 — ЕГЭ по профильной математике

Высота $CH$ из прямого угла: $AH=AC\cos A$ (проекция катета на гипотенузу), либо $AH=\dfrac{AC^2}{AB}$ (через подобие $\triangle ACH\sim\triangle ABC$).

$AC=AB\cos A$. $\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}$.

Подстановка $AB=27$, $\sin A=\dfrac23 \Rightarrow \cos A=\dfrac{\sqrt5}{3}$: $AC=9\sqrt5$, $AH=AC\cos A=15$.

Ответ: 15.