Задание 1 №106 — ЕГЭ по профильной математике

Высота из прямого угла на гипотенузу: $CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}$.

Найдём $AB$ и $AC$. $\cos A=\dfrac{AC}{AB}$, $\sin A=\dfrac{BC}{AB} \Rightarrow AB=\dfrac{BC}{\sin A}$, $AC=AB\cos A$.

Подстановка $BC=8$, $\cos A=0{,}5 \Rightarrow A=60^{\circ}$, $\sin A=\dfrac{\sqrt3}{2}$: $AB=\dfrac{16}{\sqrt3}$, $AC=\dfrac{8}{\sqrt3}$, $CH=\dfrac{\dfrac{8}{\sqrt3}\cdot 8}{\dfrac{16}{\sqrt3}}=4$.

Ответ: 4.