К бруску массой $M=2$ кг прикреплён лёгкий блок (см. рисунок), через него переброшена лёгкая нерастяжимая нить, один конец которой привязан к стене, а к другому прикреплено тело массой $m=0{,}75$ кг. На брусок действует сила $F=10$ Н. Определите ускорение тела. Свободные куски нити горизонтальны и лежат в одной вертикальной плоскости, тела двигаются вдоль одной прямой. Массой блока и нити, а также трением пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Брусок и тело движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки независимо от их размеров.
3. Нить невесома, блок идеален (масса блока ничтожна, трения нет), поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке один и тот же: $|\vec T_1|=|\vec T_2|=T$.
4. Нить нерастяжима, поэтому модули ускорений подвижного блока и тела $m$ при их прямолинейном поступательном движении отличаются в 2 раза.
Решение
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось для тела и бруска:
$ma_1=T_1$; $Ma_2=F-T_4$, где $a_1$ и $a_2$ — ускорения тела и бруска, $T_1=T$ — сила натяжения нити, $T_4$ — сила, с которой блок действует на брусок.
Запишем второй закон Ньютона для невесомого блока:
$0=T_3-2T_2$, где $T_3$ — сила, с которой брусок действует на блок, $T_2$ — сила натяжения нити, действующая на блок. Следовательно, $T_3=2T_2=2T$.
По третьему закону Ньютона $|\vec T_3|=|\vec T_4|$, следовательно, $T_4=2T$.
Ускорение подвижного блока, а значит, и бруска массой $M$, в 2 раза меньше ускорения тела массой $m$, так как за одно и то же время перемещение тела в 2 раза больше перемещения бруска: $a_1=2a_2$.
Приходим к системе уравнений: $\begin{cases}F-2T=Ma_2,\\T=m\cdot2a_2,\end{cases}$ откуда
$$a_2=\dfrac{F}{M+4m};\quad a_1=2a_2=\dfrac{2F}{M+4m}=\dfrac{2\cdot10}{2+4\cdot0{,}75}=4\ \text{м/с}^2.$$
Ответ: $a_2=4$ м/с$^2$.