К бруску массой $M=2$ кг прикреплён лёгкий блок (см. рис.), через него переброшена лёгкая нерастяжимая нить, один конец которой привязан к стене, а к другому прикреплено тело массой $m=0{,}75$ кг. На брусок действует сила $F=10$ Н. Определите ускорение тела. Свободные куски нити горизонтальны и лежат в одной вертикальной плоскости, тела двигаются вдоль одной прямой. Массой блока и нити, а также трением пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Брусок и тело движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки независимо от их размеров. Следовательно, можно применять второй закон Ньютона.
3. Нить невесома, блок идеален (масса блока ничтожна, трения нет), поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке один и тот же: $|\vec T_1|=|\vec T_2|=T$.
4. Нить нерастяжима, поэтому модули ускорений подвижного блока и тела $m$ при их прямолинейном поступательном движении отличаются в 2 раза.
Решение
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось $x$ для тела и бруска:
$ma_1=T_1$; $Ma_2=F-T_4$, где $a_1$ и $a_2$ — ускорения тела и бруска, $T_1=T$ — сила натяжения нити, $T_4$ — сила, с которой блок действует на брусок.
Запишем второй закон Ньютона для невесомого блока: $0=T_3-2T_2$, где $T_3$ — сила, с которой брусок действует на блок, $T_2$ — сила натяжения нити, действующая на блок. Следовательно, $T_3=2T_2=2T$.
По третьему закону Ньютона $|\vec T_3|=|\vec T_4|$, следовательно, $T_4=2T$.
Ускорение подвижного блока, а значит, и бруска массой $M$, в 2 раза меньше ускорения тела массой $m$, так как за одно и то же время перемещение тела в 2 раза больше перемещения бруска: $a_1=2a_2$.
Приходим к системе уравнений: $\begin{cases}F-2T=Ma_2,\\ T=m\cdot2a_2,\end{cases}$ откуда
$a_2=\dfrac{F}{M+4m}$; $a_1=2a_2=\dfrac{2F}{M+4m}=\dfrac{2\cdot10}{2+4\cdot0{,}75}=4$ м/с².
Ответ: $a_1=4$ м/с².
