На горизонтальном неподвижном столе лежит доска, на которой находится маленький брусок массой $m=400$ г. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, закреплённый на стене (отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны и параллельны). Коэффициент трения между бруском и доской $\mu_1=0{,}5$, между столом и доской $\mu_2=0{,}3$. Доску тянут вправо постоянной горизонтальной силой $\vec F$, параллельной горизонтальным отрезкам нити, $F=12$ Н. Чему равна масса доски $M$, если модуль ускорения бруска относительно стола $a=2$ м/с²? Трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на доску и брусок.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной с поверхностью стола.
2. Тела движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. Следовательно, можно использовать второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек. Силы, действующие на тела, постоянны, движение бруска и доски равноускоренно.
3. Так как нить нерастяжима, ускорения бруска и доски относительно стола равны по модулю и противоположны по направлению:
$$|\vec a_1| = |\vec a_2| = a,\ \vec a_1 = -\vec a_2.\quad(1)$$
4. Так как блок и нити невесомы и трением в оси блока можно пренебречь, то силы натяжения нити, действующие на доску и брусок, одинаковы:
$$|\vec T_1| = |\vec T_2| = T.\quad(2)$$
5. Силы трения, действующие на брусок и доску, равны друг другу и противоположны по направлению по третьему закону Ньютона:
$$\vec F_{\text{тр1}} = -\vec F_{\text{тр2}},\quad(3)$$
6. Модули сил нормальной реакции доски $\vec N_1$ и давления бруска на доску $\vec P$ также равны друг другу по третьему закону Ньютона:
$$N_1 = P.\quad(4)$$
Решение
1. На рисунке показаны силы, действующие на брусок и на доску. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$ выбранной системы координат. С учётом (1)–(2) получим:
$$Ma = F - F_{\text{тр2}} - F_{\text{тр3}} - T,$$
$$-ma = F_{\text{тр1}} - T,$$
$$N_1 = mg,$$
$$N_2 = Mg + P.$$
2. Выполнив преобразования и учитывая (3), найдём силу, действующую на доску:
$$F = (M + m)a + 2F_{\text{тр1}} + F_{\text{тр3}}.$$
3. $F_{\text{тр1}} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg$. Учитывая (4), получим $F_{\text{тр3}} = \mu_2 N_2 = \mu_2(M + m)g$.
В итоге:
$$M = \dfrac{F - 2\mu_1 mg}{a + \mu_2 g} - m = \dfrac{12 - 2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 10}{2 + 0{,}3 \cdot 10} - 0{,}4 = 1{,}2\ \text{кг}.$$
Ответ: $M = 1{,}2$ кг.