На горизонтальном неподвижном столе лежит доска, на которой находится маленький брусок массой $m=400$ г. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, закреплённый на стене (отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны и параллельны). Коэффициент трения между бруском и доской $\mu_1=0{,}5$, между столом и доской $\mu_2=0{,}3$. Доску тянут вправо постоянной горизонтальной силой $\vec F$, параллельной горизонтальным отрезкам нити, $F=12$ Н. Чему равна масса доски $M$, если модуль ускорения бруска относительно стола $a=2$ м/с²? Трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на доску и брусок.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Возможное решение.
Обоснование
1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной с поверхностью стола.
2. Брусок и доска движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. Следовательно, можно использовать второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек. Силы, действующие на тела, постоянны, движение бруска и доски равноускоренно.
3. Так как нить нерастяжима, ускорения бруска и доски относительно стола равны по модулю и противоположны по направлению:
$|\vec a_1|=|\vec a_2|=a$, $\vec a_1=-\vec a_2$.$\qquad(1)$
4. Так как блок и нити невесомы и трением в оси блока можно пренебречь, то силы натяжения нити, действующие на доску и брусок, одинаковы:
$|\vec T_1|=|\vec T_2|=T$.$\qquad(2)$
5. Силы трения, действующие на брусок и доску, равны друг другу и противоположны по направлению по третьему закону Ньютона:
$\vec F_{\mathrm{тр1}}=-\vec F_{\mathrm{тр2}}$.$\qquad(3)$
6. Модули сил нормальной реакции доски $\vec N_1$ и давления бруска на доску $\vec P$ также равны друг другу по третьему закону Ньютона:
$N_1=P$.$\qquad(4)$
Решение
1. На рисунке показаны силы, действующие на брусок и доску. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$ выбранной системы координат. С учётом (1)–(2) получим:
$Ma=F-F_{\mathrm{тр2}}-F_{\mathrm{тр3}}-T$,
$-ma=F_{\mathrm{тр1}}-T$,
$N_1=mg$,
$N_2=Mg+P$.
2. Выполнив преобразования и учитывая (3), найдём силу, действующую на доску:
$F=(M+m)a+2F_{\mathrm{тр1}}+F_{\mathrm{тр3}}$.
3. $F_{\mathrm{тр1}}=\mu_1N_1=\mu_1mg$. Учитывая (4), получим $F_{\mathrm{тр3}}=\mu_2N_2=\mu_2(M+m)g$.
В итоге:
$M=\dfrac{F-2\mu_1mg}{a+\mu_2g}-m=\dfrac{12-2\cdot0{,}5\cdot0{,}4\cdot10}{2+0{,}3\cdot10}-0{,}4=1{,}2$ кг.
Ответ: $M=1{,}2$ кг.
