Два сплошных груза массами 1,28 кг и 0,32 кг подвесили за невесомые нерастяжимые нити к концам невесомого рычага и привели рычаг в состояние равновесия. Затем рычаг с грузами расположили над керосином так, что оба груза целиком оказались в керосине. В результате для сохранения равновесия точку опоры пришлось переместить на 10 см. Определите первоначальное расстояние от более тяжёлого груза до точки опоры, если объёмы обоих грузов одинаковы и равны 250 см³. Сделайте рисунок, на котором укажите силы, действующие на рычаг, для двух случаев, а также на погружённые в керосин грузы.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Опишем рычаг моделью абсолютно твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Сумма приложенных к абсолютно твёрдому телу внешних сил равна нулю, так как тело не совершает поступательного движения.
4. Сумма моментов внешних сил относительно осей, проходящих через точки $O_1$ и $O_2$ перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю, так как тело не совершает вращательного движения.
5. Грузы на нитях могут двигаться только поступательно, поэтому опишем грузы моделью материальной точки и используем второй закон Ньютона.
6. Нити невесомы, поэтому натяжение каждой нити всюду одинаково.
7. Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют грузы, нити и рычаг, равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
Решение
1. Начальное условие равновесия:
$$P_1l_1 = P_2l_2,\quad(1)$$
где $\vec P_i$ — силы, с которыми нити действуют на рычаг, $l_i$ — плечи сил.
На каждый груз действуют только сила тяжести $m\vec g$ и сила реакции подвеса $\vec N$. В равновесии по второму закону Ньютона $N = mg$. Пусть $T$ — модуль силы натяжения нити. Поскольку нити невесомы, по третьему закону Ньютона $P = T$, $T = N$. Поэтому $P = mg$.
2. Когда грузы находятся в керосине, на них действует архимедова сила $\vec F_{\text{Арх}}$, и в равновесии $N' = mg - F_{\text{Арх}}$, откуда $P' = mg - F_{\text{Арх}} = P - F_{\text{Арх}}$.
3. Под действием сил $\vec P_1$ и $\vec P_2$ рычаг находился в равновесии. В результате погружения грузов в керосин обе силы уменьшились на одну и ту же величину $F_{\text{Арх}} = \rho gV$, где $\rho$ — плотность керосина, $V$ — объём груза. Значит, бо́льшая сила изменилась на меньшую относительную величину. Следовательно, для сохранения равновесия рычага в новых условиях надо уменьшить плечо большей силы.
Условие равновесия рычага в конечном состоянии: $P_1'(l_1 - \Delta l) = P_2'(l_2 + \Delta l)$, или
$$(P_1 - F_{\text{Арх}})(l_1 - \Delta l) = (P_2 - F_{\text{Арх}})(l_2 + \Delta l).\quad(2)$$
4. Из (1) и (2) найдём выражение для плеча $l_1$:
$$l_1 = \dfrac{\Delta l(P_1 + P_2 - 2F_{\text{Арх}})}{F_{\text{Арх}}((P_1/P_2) - 1)} = \dfrac{\Delta l(m_1 + m_2 - 2\rho V)}{\rho V[(m_1/m_2) - 1]} =$$
$$= \dfrac{0{,}1 \cdot (1{,}28 + 0{,}32 - 2 \cdot 800 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-4})}{800 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-4}[(1{,}28/0{,}32) - 1]} = 0{,}2\text{ м}.$$
Ответ: $l_1 = 0{,}2$ м.