Два сплошных груза массами 1,28 кг и 0,32 кг подвесили за невесомые нерастяжимые нити к концам невесомого рычага и привели рычаг в состояние равновесия. Затем рычаг с грузами расположили над керосином так, что оба груза целиком оказались в керосине. В результате для сохранения равновесия точку опоры пришлось переместить на 10 см. Определите первоначальное расстояние от более тяжёлого груза до точки опоры, если объёмы обоих грузов одинаковы и равны 250 см³. Сделайте рисунок, на котором укажите силы, действующие на рычаг, для двух случаев, а также на погружённые в керосин грузы.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Опишем рычаг моделью абсолютно твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Сумма приложенных к абсолютно твёрдому телу внешних сил равна нулю, так как тело не совершает поступательного движения.
4. Сумма моментов внешних сил относительно осей, проходящих через точки $O_1$ и $O_2$ перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю, так как тело не совершает вращательного движения.
5. Грузы на нитях могут двигаться только поступательно, поэтому опишем грузы моделью материальной точки и используем второй закон Ньютона.
6. Нити невесомы, поэтому натяжение каждой нити всюду одинаково.
7. Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют грузы, нити и рычаг, равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
Решение
1. Начальное условие равновесия:
$P_1l_1=P_2l_2,\qquad(1)$
где $\vec P_i$ — силы, с которыми нити действуют на рычаг, $l_i$ — плечи сил.
На каждый груз действуют только сила тяжести $m\vec g$ и сила реакции подвеса $\vec N$. В равновесии по второму закону Ньютона $N=mg$. Пусть $T$ — модуль силы натяжения нити. Поскольку нити невесомы, по третьему закону Ньютона $P=T$, $T=N$. Поэтому $P=mg$.
2. Когда грузы находятся в керосине, на них действует архимедова сила $\vec F_{\mathrm{Арх}}$, и в равновесии $N'=mg-F_{\mathrm{Арх}}$, откуда $P'=mg-F_{\mathrm{Арх}}=P-F_{\mathrm{Арх}}$.
3. Под действием сил $\vec P_1$ и $\vec P_2$ рычаг находился в равновесии. В результате погружения грузов в керосин обе силы уменьшились на одну и ту же величину $F_{\mathrm{Арх}}=\rho gV$, где $\rho$ — плотность керосина, $V$ — объём груза. Значит, бо́льшая сила изменилась на меньшую относительную величину. Следовательно, для сохранения равновесия рычага в новых условиях надо уменьшить плечо большей силы.
Условие равновесия рычага в конечном состоянии: $P_1'(l_1-\Delta l)=P_2'(l_2+\Delta l)$, или
$(P_1-F_{\mathrm{Арх}})(l_1-\Delta l)=(P_2-F_{\mathrm{Арх}})(l_2+\Delta l).\qquad(2)$
4. Из (1) и (2) найдём выражение для плеча $l_1$:
$l_1=\dfrac{\Delta l\left(P_1+P_2-2F_{\mathrm{Арх}}\right)}{F_{\mathrm{Арх}}\left((P_1/P_2)-1\right)}=\dfrac{\Delta l\left(m_1+m_2-2\rho V\right)}{\rho V\left[(m_1/m_2)-1\right]}=$
$=\dfrac{0{,}1\cdot\left(1{,}28+0{,}32-2\cdot800\cdot2{,}5\cdot10^{-4}\right)}{800\cdot2{,}5\cdot10^{-4}\left[(1{,}28/0{,}32)-1\right]}=0{,}2$ м.
Ответ: $l_1=0{,}2$ м.