Задание 1 №88 — ЕГЭ по профильной математике

Формулы для правильного треугольника (вывод — ниже):

$S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$, $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ (высота), $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{a}{2\sqrt3}=\dfrac{a\sqrt3}{6}$, $R=\dfrac{a}{\sqrt3}=\dfrac{a\sqrt3}{3}$, $R=2r$.

Вывод. Высота в правильном треугольнике делит его на два прямоугольных с катетами $\dfrac{a}{2}$, $h$ и гипотенузой $a$. По теореме Пифагора $h=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Полупериметр $p=\dfrac{3a}{2}$, $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt3}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a\sqrt3}{6}$. Через $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a^3}{4\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}}=\dfrac{a}{\sqrt3}$.

Подстановка $a=6\sqrt3$: $r=\dfrac{6\sqrt3}{2\sqrt3}=3$.

Ответ: 3.